C?est quoi le test de Student non-appari? ?

A titre d?exemple, nous avons un groupe de 100 individus (50 femmes et 50 hommes) pris au hasard au sein de la population. On se pose la question ? savoir si le poids moyen des femmes est significativement diff?rent de celui des hommes?

Dans cet exemple on parle de test de Student non appari? car les deux groupes ? comparer n?ont aucun lien. Il s?agit donc de calculer le poids moyen des femmes et de celui des hommes et d??valuer si la diff?rence est significative au point de vue statistique.

Formule

• Soit A et B deux groupes diff?rents ? comparer.
• Soit \(m_A\) et \(m_B\) la moyenne du groupe A et celui du groupe B, respectivement.
• Soit \(n_A\) et \(n_B\) la taille du groupe A et celle du groupe B, respectivement.

La valeur t de Student est donn?e par la formule suivante:

\[ t = \frac{m_A - m_B}{\sqrt{ \frac{S^2}{n_A} + \frac{S^2}{n_B} }} \]

\(S^2\) est la variance commune aux deux groupes. Elle est calcul?e par la formule suivante :

\[ S^2 = \frac{\sum{(x-m_A)^2}+\sum{(x-m_B)^2}}{n_A+n_B-2} \]

Pour savoir si la diff?rence est significative, il faut tout d?abord lire dans la table t, la valeur critique correspondant au risque alpha = 5% pour un degr? de libert? :

\[ d.d.l = n_A + n_B -2 \]

Si la valeur absolue de t (|t|) est sup?rieure ? la valeur critique, alors la diff?rence est significative. Dans le cas contraire, elle, ne l?est pas. Le degr? de siginificativit? ou p-value correspond au risque indiqu? par la table de Student pour la valeur |t|

Le test est utilisable, si seulement si, A et B suivent des lois normales de m?me variances.

Lorsque les variances des deux groupes ? comparer sont diff?rentes, le test t de Welch est pr?conis?.

C?est quoi le test de Student appari? ?

Le test de Student appari? permet de comparer la moyenne de deux s?ries de valeurs ayant un lien.

Par exemple, 20 souris ont re?u un traitement X pendant 3 mois. On se pose la question ? savoir si le traitement X a un impact sur le poids des souris au bout des 3 mois. Le poids des 20 souris a donc ?t? mesur? avant et apr?s traitement. Ce qui nous donne 20 s?ries de valeurs avant traitement et 20 autres s?ries de valeurs apr?s traitement provenant de la mesure du poids des m?mes souris.

Il s?agit bien dans cet exemple, d?un test de Student appari? car les deux s?ries de valeurs ont un lien (les souris). Pour chaque souris, on a deux mesures (l?une avant et l?autre apr?s traitement).

Formule

Pour comparer les moyennes de deux s?ries appari?es, on calcule tout d?abord la diff?rence des deux mesures pour chaque paire.

Soit d la s?rie des valeurs correspondant aux diff?rences des mesures entre les paires de valeurs. La moyenne de la diff?rence d est compar?e ? la valeur 0. S?il y a une diff?rence significative entre les deux s?ries appari?es, la moyenne de d devrait ?tre tr?s ?loign?e de la valeur 0

La valeur t de Student est donn?e par la formule :

\[ t = \frac{m}{s/\sqrt{n}} \]

m et s repr?sentent la moyenne et l??cart-type de la diff?rence d. n est la taille de la s?rie d.

Pour savoir si la diff?rence est significative, il faut tout d?abord lire dans la table t, la valeur critique correspondant au risque alpha = 5% pour un degr? de libert? :

\[ d.d.l = n - 1 \]

Si la valeur absolue de t (|t|) est sup?rieure ? la valeur critique, alors la diff?rence est significative. Dans le cas contraire, elle, ne l?est pas. Le degr? de siginificativit? (ou p-value) correspond au risque indiqu? par la table de Student pour la valeur |t|.

Le test est utilisable, si seulement si, la diff?rence de suit une loi normale.